Ο Προκρούστης προσπαθεί να προσεγγίσει, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, τον βέλτιστο 2Δ μετασχηματισμό μεταξύ δύο σετ σημείων $(x, y)$ και $(x^{'}, y^{'})$. Τα δύο σέτ σημείων έχουν γνωστές συντεταγμένες σε δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς.
Το αποτέλεσμα των ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να αποθηκευτεί και να χρησιμοποιηθεί περαιτέρω σαν επιλογή στους Μετασχηματισμούς. Τα αποτελέσματα δεν αποθηκεύονται στον server, αλλά τοπικά στο Browser Storage του χρήστη.
Η εφαρμογή δέχεται αρχεία CSV τα οποία περιέχουν σημεία. Το κάθε σημείο αναγράφεται σε ξεχωριστή γραμμή. Η κάθε γραμμή μπορεί να περιέχει:
Η χρήση Validation σημείων είναι προαιρετική. Τα δεδομένα είναι διαχωρισμένα με κόμμα/κενό/tab/ερωτηματικό. Μονάδα μέτρησης για τις προβολικές συντεταγμένες είναι τα μέτρα.
Δίνεται επιλογή 3 τύπων μετασχηματισμού:
$$ X^{'}_{ref} = M X_{ref} \Rightarrow \begin{bmatrix} x^{'} \\ y^{'} \end{bmatrix} = Μ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
Οι διαφορές των συστημάτων αναφοράς περιγράφονται από 2 παραμέτρους μετάθεσης $t_x$ και $t_y$ μία στροφή $\theta$ και ένα συντελεστή κλίμακας $\delta s$
$$ \begin{bmatrix} x^{'} \\ y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} + (1-\delta s) \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
Οι διαφορές των συστημάτων αναφοράς περιγράφονται από 2 παραμέτρους μετάθεσης $t_x$ και $t_y$ 2 στροφές $\theta_x$, $\theta_y$ και 2 συντελεστές κλίμακας $\delta s_x$, $\delta s_y$
$$ \begin{bmatrix} x^{'} \\ y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1-\delta s_x & 0 \\ 0 & 1-\delta s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta_x & \sin\theta_y \\ -\sin\theta_x & \cos\theta_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
Οι διαφορές των συστημάτων αναφοράς περιγράφονται από 12 παραμέτρους $\alpha_i$ και $\beta_i$
$$\begin{aligned} x^{'} &= \alpha_0 + \alpha_1 x + \alpha_2 y + \alpha_3 x^{2} + \alpha_4 y^{2} + \alpha_5 xy \\ y^{'} &= \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 y + \beta_3 x^{2} + \beta_4 y^{2} + \beta_5 xy \end{aligned} $$
Στην πραγματικότητα τα υπόλοιπα $s_{ref}$ της εφαρμογής του μετασχηματισμού $M$ στα σημεία αναφορας $X_{ref}$ δεν θα είναι μηδενικά, λόγω συστηματικών διαφορών και ασυνεπειών των δύο συστημάτων αναφοράς.
$$ X^{'}_{ref} = M X_{ref} + s_{ref} $$
Ο Προκρούστης δίνει δύο επιλογές για την μοντελοποίηση των υπολοίπων. Με την εφαρμογή τους επιτυγχάνεται εκμηδενισμός των υπολοίπων στα σημεία αναφοράς.
Ανακατανομή των υπολοίπων $s_{ref}$ των σημείων αναφοράς $X_{ref}$ στα νέα σημεία προς μετασχηματισμό $X_{new}$ μέσω σημειακής προσαρμογής. Τα υπόλοιπα $s_{ref}$ αντιμετωπίζονται ως σήματα και γίνεται πρόγνωση σημάτων στα $X_{new}$. Για την πρόγνωση υπολογίζεται συνάρτηση $f(d)$ πού περιγράφει την συμμετάβλητότητα $C$ του σήματος σε ένα σημείο στην περιοχή ενδιαφέροντος, με βάση την απόστασή του $d$ από τα σημεία αναφοράς. Ο πίνακας $C_{n}$ περιγράφει τον προαιρετικό θόρυβο του σήματος, δηλαδή των υπολοίπων.
$$ X^{'}_{ref} = M X_{ref} $$ $$ X^{'}_{new} = M X_{new} + C_{new, ref} (C_{ref, ref}+C_{n})^{-1} s_{ref} $$
Ανακατανομή των υπολοίπων $s_{ref}$ των σημείων αναφοράς $X_{ref}$ στα νέα σημεία προς μετασχηματισμό $X_{new}$ μέσω παρεμβολής. Η παρεμβολή χρησιμοποιεί βάρος $w$, ίσο με το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης του νέου σημείου από τα σημεία αναφοράς.
$$ X^{'}_{ref} = M X_{ref} $$ $$ X^{'}_{new} = M X_{new} + \delta X_{new} $$ $$ \delta X_{new} = \sum_{i=0}^{ref} {w_{new,i} s_i \over w_{new,i}} $$
Α. Φωτίου (2007): Γεωμετρική Γεωδαισία, Θεωρία και Πράξη
Δ. Αμπατζίδης, Σ. Μελαχροινός (2017): The connection of an old geodetic datum with a new one using Least Squares Collocation: The Greek case
M. Ligas, P. Banasik (2014): Least squares collocation alternative to helmert's transformation with Hausbrandt's post-transformation correction, Reports on Geodesy and Geoinformatics vol. 97/2014
E.M. Mikhail, F.Ackermann (1976): Observation and Least Squares
R.J. You, H.W. Hwang (2006): Coordinate Transformation between Two Geodetic Datums of Taiwan by Least- Squares Collocation